Yksinkertaisia tähtimalleja Auringolle

Tomi Hyvönen

Aurinko ja suuri osa yötaivaalla loistavista tähdistä viettävät parhaillaan aikaansa vakaassa ja pitkäkestoisessa tilassa, pääsarjassa. Ne fuusioivat rauhalliseen tahtiin vetyä heliumiksi energiaa tuottaen. Pääsarjatähdissä kaasun paineen ja gravitaation välinen hydrostaattinen tasapaino pitää tähden vakaana. Hydrostaattisen tasapainon avulla voidaan mallintaa Auringon fysikaalisia ominaisuuksia. Vaikka näin saadut tähtimallit ovat yksinkertaisia, antavat ne kuitenkin pienin ponnistuksin hyvän kuvan Auringon fysikaalisista ominaisuuksista.

Kuva © Kari A. Kuure.

Hydrostaattinen tasapaino

Tähden tiivistyessä tähtienvälisestä pöly- ja kaasupilvestä prototähden ydin kuumenee. Ytimen kuumentuessa riittävästi tähden ydinfuusio käynnistyy ja tähti asettuu massansa mukaiseen paikkaan pääsarjassa. Pääsarjavaiheessa tähti tuottaa energiaa fuusioimalla ytimessään vetyä heliumiksi. Se on tähden kehityskaaren ylivoimaisesti pisin ajanjakso. Auringolla pääsarjavaihe kestää noin 10 miljardia vuotta. Nyt viiden miljardin vuoden ikäisenä Aurinko on pääsarjavaiheensa puolivälissä. Mitä raskaampi tähti on, sitä lyhyempi on sen elinkaari, massiivisimmilla tähdillä pääsarjavaihe kestää vain muutamia miljoonia vuosia.

Pääsarjassa olevan tähden vakaa tila johtuu kahden voiman, gravitaation ja kaasun paineen, tasapainosta. Tähden kaasu pyrkii oman gravitaationsa vaikutuksesta rutistamaan tähteä kasaan. Toisaalta kuuman kaasun liike-energiasta johtuva paine aiheuttaa vastakkaissuuntaisen voiman. Hydrostaattisessa tasapainossa gravitaation ja kaasun paineen aiheuttamat voimat ovat yhtä suuret, mutta vastakkaissuuntaiset.

Tarkastellaan hyvin ohutta (paksuus dr ja pinta-ala dA) kaasuelementtiä tähden sisällä etäisyydellä r tähden keskustasta (kuva 1).

Kuva 1. Hydrostaattisessa tasapainossa kaasuun kohdistuvat vastakkaissuuntaiset voimat pitävät tähden vakaana.

Kaasuelementin tilavuus on drdA ja tiheys r = r(r). Kaasuelementin massa on dm = rdrdA. Merkintä r(r) tarkoittaa, että tähden tiheys on pallosymmetrinen, mutta riippuu etäisyydestä tähden keskustasta. Kaasuelementin alapuolella olevan tähden sisäosan massa on m(r). Newtonin gravitaatiolain mukaisesti kaasuelementtiin kohdistuu tähden keskipistettä kohti suuntautuva voima

Kaasuelementin ylä- ja alapinnan välillä vaikuttava paine-ero aiheuttaa voiman dF_p. Alapinnalla paine P(r)+dP on suurempi kuin yläpinnalla oleva paine P(r). Paine-ero on DP = P(r) – (P(r)+dP) = -dP. Paine pienenee säteen kasvaessa, joten gradientti on negatiivinen. Ylöspäin suuntautuva voima on dF_p = -dPdA. Koska kaasuelementti on tasapainossa, siihen kohdistuvien voimien summa on nolla dF_g + dF_p = 0 .Tästä tasapainoehdosta saadaan

Jaetaan yhtälö termillä drdA, ja järjestellään termit. Hydrostaattisen tasapainon yhtälö on

Tämä on ensimmäinen ja tärkein yhtälö, joka otetaan mukaan työkalupakkiin.

Otetaan lisäksi mukaan yhtälö, joka kertoo, miten tähden massa m kasvaa säteen r muuttuessa. Tähden massa saadaan tiheyden r(r) avulla yhtälöstä

Tähden lämpötilan laskemiseksi otetaan työkalupakkiin vielä yksi yhtälö, ideaalikaasun tilanyhtälö. Yhtälö voidaan kirjoittaa useammalla eri tavalla, joista tutuin lienee PV=nRT. Tähtiä tarkasteltaessa yhtälö kirjoitetaan yleisimmin muodossa

jossa m on kaasun koostumuksesta riippuva hiukkasen keskimääräinen paino, m_H vedyn massa, r kaasun tiheys, k_B Boltzmannin vakio ja T lämpötila. Auringolle ja muille vastaaville tähdille m ≈ 0,6 ja tähden ytimessä m_c ≈ 0,8. Nyt on kasassa tarvittavat työkalut, joilla voidaan käydä tähtien kimppuun.

Huomautettakoon, että hydrostaattisen tasapainon yhtälö ei yleisesti riitä mallintamaan tähden rakennetta. Tarvitaan lisäehtoja mm. energian tuotannosta ja energian siirtymisestä tähden läpi. Hydrostaattisen tasapainon avulla saadaan kuitenkin laskettua yksinkertaisia tähtimalleja silloin, kun tiedetään joko kaasun tiheys säteen funktiona r(r) tai tiheys paineen funktiona r(P). Tarkastellaan näitä kahta mallia tässä tarinassa hieman lähemmin. Mallit ovat yksinkertaistuksia, mutta erityisesti jälkimmäinen antaa kuitenkin hyvän käsityksen tähdissä vallitsevista olosuhteista. Tarkoituksena on kahvipöytäkeskustelun tasoisesti vastata kysymykseen, miten voimme tietää, millaiset olosuhteet Auringossa ja taivaalla tuikkivissa tähdissä todellisuudessa on?

Tähden keskustan paine ja lämpötila P_c, T_c

Aloitetaan laskemalla arvio tähden keskustan paineelle P_c ja lämpötilalle T_c hydrostaattisen tasapainon ja kaasun tilanyhtälön avulla. Kaasun paineen muutos pinnan ja keskustan välillä on DP = P_R - P_c. Koska tähden pinnalla paine on nolla P_R = 0, hydrostaattisen tasapainon yhtälön vasen puoli voidaan nyt kirjoittaa yksinkertaisesti

Kirjoitetaan hydrostaattisen tasapainon yhtälön oikea puoli sijoittamalla M(r) = M ja r = R. Käytetään tiheyden arvona tähden keskimääräistä tiheyttä . Tähden keskustan paineelle saadaan arvio

Kirjoitetaan paine Auringon massan ja säteen avulla

Pa

Auringon keskustan paineelle saadaan arvio

P_c ≈ 10¹⁵ Pa.

Paine on 10 miljardia kertaa suurempi kuin ilmakehän paine! Tulos on suuruusluokaltaan suhteellisen hyvin sopusoinnussa tarkempien tähtimallien antamien tulosten kanssa P_⊙ = 2,5·10¹⁶ Pa. Hyvin yksinkertaisista lähtökohdista saatu arvio osoittaa, että Auringon keskustassa vallitsee hyvin suuri paine.

Tähden säteen ja massan välillä on relaatio R ~ M^a. Indeksi a riippuu tähden massasta, mutta käytetään keskimääräistä arvoa a = 0,8. Sijoitetaan relaatio edellä olevaan keskustan paineen lausekkeeseen. Tästä saadaan arvio keskustan paineelle tähden massan funktiona P_c ~ M^-1,2. Paine laskee tähden massan kasvaessa, koska tähden säde kasvaa. Relaatiota on verrattu tähtimallien antamiin tuloksiin eri spektrityypin tähdillä kuvassa 2.

Kuva 2. Yksinkertaistetun mallin mukainen tähden keskustan paine tähden massan funktiona. Vertailuna tarkempien tähtimallien perusteella lasketut paineet eri spektrityypin tähdille.

Lasketaan arvio tähden keskustan lämpötilalle ideaalikaasun tilanyhtälöstä mm_HP = rk_BT. Koska keskustan tiheyttä ei tiedetä, käytetään Auringon keskimääräistä tiheyttä. Tähden keskustan lämpötila

Koska kaasun tiheys pienenee säteen kasvaessa, keskustan tiheys on suurempi kuin keskimääräinen tiheys . Näin ollen lämpötilan ylärajaksi saadaan

K

Auringon keskustan lämpötilan suuruusluokka-arvioksi saadaan T_c ~ 2·10⁷ K. Todellisuudessa keskustan lämpötila on T_⊙ = 1,5·10⁷ K. Saatu yksinkertainen arvio antaa hyvän kuvan Auringon keskustan lämpötilasta. Tarvitaan korkea lämpötila, jotta tähti voi tuottaa energiaa vedyn fuusiolla. Käyttäen edellä ollutta massan ja säteen välistä relaatiota, saadaan T_c ~ M^0,2. Kuvassa 3 tätä on verrattu tarkempien tähtimallien antamiin eri spektrityypin tähtien lämpötiloihin.

Kuva 3. Yksinkertaistetun mallin mukainen tähden keskustan lämpötila tähden massan funktiona. Vertailuna tarkempien tähtimallien perusteella lasketut lämpötilat eri spektrityypin tähdille.

Aurinkoa tai taivaalla tuikkivia tähtiä tuijottaessa on hyvin vaikea sanoa mitään perusteltua arviota tähden keskustassa vallitsevista olosuhteista. Vaikka edellä lasketut arvot eivät tarkkoja arvoja olekaan, yksinkertaisista lähtökohdista perusfysiikan avulla saa kuitenkin helposti johdettua perustellut suuruusluokka-arviot Auringon keskustan olosuhteille. Lisäksi saaduista paineen ja lämpötilan yhtälöistä nähdään, miten ne skaalautuvat tähden massan ja säteen mukaan.

Lineaarinen tähtimalli

Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, kun tähden tiheys säteen funktiona tiedetään. Oletetaan, että kaasun tiheys pienenee lineaarisesti keskustasta ulospäin mentäessä. Tällöin tähden tiheys on

jossa R on tähden säde on ja r etäisyys tähden keskipisteestä. Tähden tiheys keskustassa r(0) = r_c ja pinnalla r(R) = 0.

Lasketaan lineaarisen mallin perusteella, miten tähden paine P(r) ja lämpötila T(r). Työkaluina ovat hydrostaattisen tasapainon yhtälö, massan yhtälö ja ideaalikaasun tilanyhtälö.

Ratkaistaan aluksi massan yhtälöstä tähden massa säteen funktiona. Sijoitetaan yhtälön dm = 4pr²rdr tiheyden paikalle lineaarisen mallin tiheys r(r)

Integroimalla saadaan

Tähden kokonaismassa M saadaan sijoittamalla r = R

Tästä saadaan ratkaistua tähden keskustan tiheys r_c

Sijoitetaan r(r) ja m(r) hydrostaattisen tasapainon yhtälöön dP/dr = -Gm(r)r/r². Integroimalla saadaan paine säteen funktiona P(r). Lasku on suoraviivainen, mutta hieman pitkä, joten luettavuuden säilyttämiseksi kirjoitetaan lopputulos ilman välivaiheita. Tähden paine säteen funktiona on

Ratkaistaan keskustan paine P_c sijoittamalla yhtälöön r = R. Tähden pinnalla paine on nolla P(R) = 0. Tähden keskustan paine on

Sijoitetaan yhtälöön keskustan tiheys r_c, jolloin keskustan paine on

Pa

Sijoitetaan P_c ja r_c paineen yhtälöön P(r) ja pyöritellään hetken aikaa. Lineaarisen mallin mukainen tähden paine säteen funktiona on

Yhtälöstä huomataan, että paine skaalautuu massan ja säteen suhteen samoin kuin edellä hydrostaattisesta tasapainosta saatu relaatio P ~ M²/R⁴.

Verrataan lineaarisen mallin mukaista painetta Auringon standardimallista interpoloituun paineeseen (kuva 4). Huomataan, että lineaarinen malli ei kuvaa painetta kovinkaan hyvin.

Kuva 4. Lineaarisen mallin mukainen Auringon paine säteen funktiona.

Lämpötila säteen funktiona T(r) saadaan sijoittamalla paineen lauseke ideaalikaasun tilanyhtälöön.

Lämpötila T(r) on esitetty kuvassa 5. Auringon keskustan lämpötila saadaan, kun sijoitetaan r = 0

T_c ~ 6·10⁶ K.

Kuva 5. Lineaarisen mallin mukainen Auringon lämpötila säteen funktiona.

Lineaarinen malli ei ole käyttökelpoinen mallintamaan Auringon painetta ja lämpötilaa.

Polytrooppiset tähtimallit

Lineaarisen mallin tapauksessa tiheys r(r) tiedettiin. Hydrostaattisen tasapainon yhtälö voidaan ratkaista myös, kun tiheyden ja paineen välinen relaatio tiedetään. Tällainen relaatio on tähtimalleissa hyvin yleisesti käytetty polytrooppinen tilanyhtälö

jossa P on paine, r tiheys, K ja n vakioita. Polytrooppisesta tilanyhtälöstä yhdessä hydrostaattisen tasapainon yhtälön kanssa johdettuja tähtimalleja kutsutaan polytrooppisiksi tähtimalleiksi. Menneinä vuosikymmeninä niitä on käytetty tähtien mallintamiseen erittäin paljon. Ne ovat yksinkertaisia, mutta antavat kuitenkin hyvän kuvan tähtien rakenteesta. Niillä voidaan kuvata pääsarjatähtien rakennetta, mutta ne soveltuvat myös esimerkiksi valkoisten kääpiöiden mallintamiseen.

Polytrooppisen tähtimallin yhtälö saadaan johdettua hydrostaattisen tasapainon ja massajakauman yhtälöistä yhdessä polytrooppisen tilanyhtälön kanssa. Lopputuloksena saadaan kuuluisa Lane–Emden -yhtälö (J. H. Lane 1819 – 1880, R. Emden 1862 – 1940)

Yhtälössä tiheys ja säde esitetään muuttujien q ja x avulla (a on vakio)

ja

Jotta polytrooppisen tähden rakenne saadaan laskettua, Lane–Emden -yhtälö täytyy ratkaista. Yhtälön ratkaisuna saadaan Lane–Emdenin funktio q = q(x). Tähden keskustassa x = 0 ja q = 1. Tähden pinta saavutetaan Lane–Emdenin funktion ensimmäisessä nollakohdassa q(x₁) = 0. Yhtälö voidaan ratkaista analyyttisesti vain tapauksissa n = 0, 1, 5. Muissa tapauksissa ratkaisu täytyy laskea numeerisesti. Yhtälön ratkaisuja eri indeksin n arvoilla on esitetty kuvassa 6.

Ratkaisu n = 0 kuvaa tähteä, jonka tiheys on vakio. Ratkaisu n = 5 kuvaa kappaletta, jonka säde on ääretön. Säde on äärellinen vain, kun n < 5.

Kuva 6. Lane-Emden -funktion ratkaisut eri n:n arvoilla. Ensimmäinen nollakohta kuvaa tähden pintaa. Ratkaisulle n = 3, nollakohta on x₁ ≈ 6,9.

Taulukossa 1 on esitetty yhtälön ratkaisusta johdettuja suureita, kun n = 3. Taulukossa dq/dx tarkoittaa funktion q(x) derivaattaa.

Taulukko 1. Lane-Emden -yhtälön ratkaisusta johdettuja suureita, kun n = 3.

Pääsarjatähdillä polytrooppi-indeksi n = 3 on yleisesti käytetty. Vakio K riippuu tähden massasta ja säteestä. Lasketaan polytrooppisella mallilla Auringon P(r), r(r), m(r) ja T(r). Alkuarvoina ovat Auringon massa M = 2·10³⁰ kg ja säde R = 7·10⁸ m.

Auringon polytrooppinen malli (n = 3)

Keskustan tiheys: Auringon keskustan tiheys r_c saadaan keskitiheyden ja Lane-Emden -funktion derivaatan avulla

Hakasuluissa olevat arvot tarkoittavat kohtaa x = x₁. Arvot saadaan taulukosta 1. Auringon keskitiheys ~ 1 400 kg/m³. Keskustan tiheys on

Tiheysprofiili r(r): Kun keskustan tiheys tiedetään, tiheys säteen funktiona on

r(r)=r_cq³(x)

Muistetaan edeltä, että x = ar. Vakio a saadaan laskettua nollakohdan x₁ ja Auringon säteen avulla x₁ = aR. Tästä saadaan a = x₁/R = 9,9·10⁴ m^-1. Säde auringon säteinä on r = x/aR.

Kuvassa 7 on esitetty Auringon tiheysprofiili. Huomataan, että tiheys pienenee nopeasti säteen kasvaessa. Tiheys on pudonnut puoleen etäisyydellä ~0,2R.

Kuva 7. Auringon tiheys säteen funktiona.

Massaprofiili m(r): Tähden massa säteen funktiona on

Keskustan tiheys r_c ja vakio a tiedetään. Derivaatta dq/dx x:n funktiona saadaan taulukosta 1. Kuvassa 8 on esitetty Auringon massaprofiili. Huomataan, että massa kasvaa suhteellisen nopeasti säteen kasvaessa. Massasta ~90 % on säteen r ≈ 0,5R sisäpuolella.

Kuva 8. Auringon massa säteen funktiona.

Paineprofiili P(r): Tähden paine säteen funktiona saadaan polytrooppisesta tilanyhtälöstä

K saadaan laskettua yhtälöstä keskustan tiheyden r_c ja vakion a avulla

Kuten edeltä muistetaan, keskustassa q = 1. Nyt keskustan paine on

Pa

Tämä on hyvin sopusoinnussa Auringon todellisen paineen P_⊙ = 2,5·10¹⁶ Pa kanssa.

Paineprofiili saadaan laskettua säteen funktiona P(r) = P_cqⁿ⁺¹ (kuva 9). Paine laskee nopeasti säteen kasvaessa.

Kuva 9. Auringon paine säteen funktiona.

Lämpötilaprofiili T(r): Tähden keskustan lämpötila ja lämpötila säteen funktiona saadaan tutusta ideaalikaasun tilanyhtälöstä mm_HP = k_BrT sijoittamalla P = Kr^1+1/n paineen paikalle. Auringon keskustan lämpötilaksi saadaan

Lämpötila on varsin hyvin sopusoinnussa Auringon standardimallin antaman lämpötilan (1,5·10⁷ K) kanssa.

Lämpötila säteen funktiona (kuva 10) saadaan laskettua keskustan tiheyden ja q(x) avulla 

T(r) = T_cq(x).

Kuva 10. Auringon lämpötila säteen funktiona.

Yhteenveto

Yhteenvetona voidaan todeta, että polytrooppinen malli (n = 3) kuvaa kaikessa yksinkertaisuudessaan hyvin Auringon rakennetta (taulukko 2).

Lopuksi huomautettakoon että tähdillä paineeseen vaikuttaa kaasun paineen lisäksi myös säteilypaine. Mitä raskaampi tähti sitä suurempi on säteilypaineen osuus. Auringon massaisilla tähdillä säteilypaine voidaan jättää huomioimatta, kuten tässä on tehty.

Taulukko 2: Yhteenveto eri tähtimallien antamista tuloksista Auringon keskustan paineelle ja lämpötilalle.